Calculo Integral

jueves, 9 de junio de 2011

Por medio de la presente manifiesto una disculpa por no haber publicado antes su evaluacion ya que obtuvo el 100% de los subtemas 4.2 al 4.7.

Atentamente
Ing. Jose Enrique Marquez E

lunes, 6 de junio de 2011

Evaluacion Parcial 4.2-4.7

Por medio de la presente manifiesto una disculpa por no haber publicado antes su evaluacion ya que obtuvo el 100% de los subtemas 4.2 al 4.7.

Atentamente
Ing. Jose Enrique Marquez E

4.1.2 infinitas (Criterio de d'alembert y criterio de ), 4.1.1 finita, 4.1 definicion de serie

4.1 Definicion de serie
Definiciones y notación.

A la suma de una sucesión de términos se denomina SERIE y el valor de dicha suma, si es que tiene
alguno, se define como

S = lim S n .
n→∞
Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la
denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un térmno inicial
multiplicado por una cantidad constante, p. ej.
a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ar n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ . En
este caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r para obtener dicha
serie infinita.
En general una serie infinita significa una expresión de la forma
a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + ⋅ ⋅ ⋅ ,
donde las an son números o funciones dadas por alguna regla o fórmula. Los tres puntos
significan que la serie nunca termina. Si se tiene duda de cómo es la regla usada en la
formación e la serie, el término general o término n-ésimo deberá expresarse, p. ej.
12 + 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2 + ⋅ ⋅ ⋅
x − x 2 + x
2
+ ⋅ ⋅ ⋅ +
(− 1)n−1 x n
(n − 1)!
+ ⋅ ⋅ ⋅
También usaremos formas abreviadas para denotar las series, p. ej. para las series anteriores, la
forma abreviada será

∞
∑
n=1
∞
∑ n 2
n =1
(− 1)n−1 x n
(n − 1)! .

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más importante para
nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas matemáticos que no pueden resolverse
en términos de funciones elementales ( potencias, raíces, funciones trigonométricas y sus inversas,
logaritmos y exponenciales y combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy
complicado trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y
usamos
los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones diferenciales son
resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una integral definida,
0.1
por ejemplo,
∫ e − x
0
dx , para la cual no hay solución en términos de funciones
elementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando término a
término dicha serie.

4.1.1

Finitas

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución deecuaciones diferenciales.

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

$\Delta = hD + \frac12 h^2D^2 + \frac1{3!} h^3D^3 + \cdots = \mathrm{e}^{hD} - 1,$

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder $f\,$ con su derivada $f\,'$ , es decir, $D = u'\,, D^2 = u''\,, D^3 = u'''\,,...$

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

$hD = \log(1+\Delta) = \Delta - \frac12 \Delta^2 + \frac13 \Delta^3 + \cdots. \,$

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

$f'(x) \approx \frac{\Delta[f](x) - \frac12 \Delta^2[f](x)}{h} = - \frac{f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}.$

El error de la aproximación es del orden de h².

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

$hD = -\log(1-\Delta) \quad\mbox{y}\quad hD = \, \operatorname{arcsinh} \left( \Delta \right).$

4.1.2 Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que

a k > 0

( serie de términos positivos).

Si existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_k}{a_{k-1}}=L$

con $L \, \in \, [0, +\infty)$ , el Criterio de D'Alembert establece que:

si $L < 1$ , la serie converge.
si $L > 1$ , entonces la serie diverge.
si $L = 1$ , no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que

a k > 0

(serie de términos positivos). Y supongamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=L$ , siendo $L \, \in \, [0, +\infty)$

Entonces, si:

$L < 1$ , la serie es convergente.
$L > 1$ entonces la serie es divergente.
$L$ =1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

viernes, 3 de junio de 2011

4.2 Series Numericas

miércoles, 1 de junio de 2011

4.3 Series de Potencias

http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/09-seriespotencias.pdf

martes, 31 de mayo de 2011

4.4Radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , viene dado por la expresión:

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}$

Definición

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x 0$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $| x - x 0 | < r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x 0 - r,$ $x 0 + r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x 0$ , $r = 0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r =$ $\infty \,\!$ .

Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia

x - x 0 = x - 0 = x

, tiene el siguiente aspecto:

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+...$ .

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r = 1$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al

x 0 = 0

es menor que

r = 1

, por ejemplo el

x = 0.25

, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

$\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}$ .

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

$\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ .

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el

x = 2

, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

$\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty$ .

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro

x 0 = 3

tiene la forma:

$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-...$ .

Pero en este caso su radio de convergencia es $r = 2$ . Notemos que la función

1 / (1 - x)

tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad:

| 0 - 1 | = 1

| 3 - 1 | = 2

. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...$

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es $r=\sqrt{2}/2$ . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función

e x

puede desarrollarse en series de potencia de

x - 0 = x

, de hecho $e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ .

y esto vale para todo real

x

por eso el radio de convergencia será infin

viernes, 27 de mayo de 2011

4.5 Serie de Taylor

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
Definición
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

donde n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y

(x - a) 0

0!

son ambos definidos como uno.