4.7 Calculo de Integrales Expresadas Como Serie deTaylor

Sea

(1)

una función continua y diferenciable de n variables independientes, donde el intervalo de la variable k-ésima (k=1,2,3,...,n) es:

(2)

con igual a la longitud de éste, la cual se considera constante y razonablemente pequeña. Por consiguiente,

(3)

siempre que

(4)

En consecuencia,

(5)

y al covenir que

(6)

resulta:

(7)

y

(8)

Obviamente,

(9)

Teniendo en cuenta que la aplicación sucesiva, j veces (j =1,2,3...), del operador diferencial lineal:

(10)

es de acuerdo a la notación indicial, y a la regla de la cadena, tal como sigue:

Primera vez:

(11)

Segunda vez:

(12)

j-ésima vez:

(13)

Entonces al convenir en que

(14)

la expresión de la serie de Maclaurin en la notación indicial, es:

(15)

Y por tanto, la serie de Taylor generalizada, expresada en la misma notación, es:

(16)

donde

(17)

En la ecuación (16) el segundo miembro deberá desarrollarse primero, para todos los valores del subíndice j, como se indica a continuación:

                                                                                                                                                        (18)

 Que de acuerdo a la ecuación (17), asume la forma:

                                                                                                                                                                Cada término del segundo miembro de la ecuación (19) se desarrolla según el convenio de suma de la notación indicial. Por ejemplo, si la función es de tres variables independientes (n=3), en el segundo término se tiene con independencia en el orden de las derivadas:

 

REFERENCIAS:

Sadosky-Guber. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Buenos Aires, Edit. Alsina. vol 1. 1970.
 I. S. Sokolnikoff. Análisis Tensorial. Madrid, Edit. Index-Prial,1971.  

http://knol.google.com/k/santiago-hern%C3%A1ndez/serie-de-taylor-generalizada/ou942resqvu9/61